مطالعه ای در مفصل ها و مدلهای وابسته و کاربردهای آنها

در بسیاری از مدل های آماری فرض وابسته بودن داده ها و یا وابسته بودن مولفه ها در صورتی که داده ها برداری باشند امری اجتناب ناپذیر بوده و در برخی موارد مدل بندی بدون این فرض نادرست است و موجب تحلیل و استنباط نادرستی از مشاهدات می گردد. در آمار کلاسیک توابع توزیع چند متغیره به عنوان راه حلی برای این مشکل پیشنهاد گردیده اند. از جمله این توابع توزیع می توان، نرمال چندمتغیره، ویشارت، t-استودنت چندمتغیره، نمایی دو متغیره مارشال-الکین و... را بیان داشت. در روشهای کلاسیک ساخت این توابع توزیع کاری سخت و در بسیاری از مواقع ناممکن می باشد. در این گونه روش ها پیدا کردن یک توزیع توام با توزیع های حاشیه ای دلخواه در بیشتر موارد ناممکن و در موارد ممکن نیز تفکیک پارامترهای وابستگی از پارامترهای توزیع های حاشیه ای بسیار دشوار و حتی ناممکن می باشد. مفصل ها به عنوان یک راه حل برای این مشکل معرفی گردیده اند. با استفاده از مفصل ها به راحتی می توان یک توزیع چندمتغیره با توابع توزیع حاشیه ای دلخواه ساخت که پارامترهای وابستگی آن از پارامترهای توزیع های حاشیه ای مجزا باشند. امروزه از مفصل ها در علوم مختلف جهت مدل بندی داده های وابسته استفاده می گردد. در این رساله سعی بر آن است تا از مفصل ها در برخی از مدل بندی های آماری استفاده کرده و مدل های آماری بهتری جهت برازش به داده معرفی گردد. طول عمر یک سیستم همواره برای تمام مهندسین و طراحان آن مورد توجه ویژه بوده و تحقیقات بسیاری در این زمینه صورت پذیرفته است. با ارائه یک مدل بندی ریاضی که به درستی رفتار یک سیستم را منعکس کند می توان طول عمر آن سیستم را پیش بینی و بهترین عملکرد ممکن را از آن سیستم استخراج نماییم. اگر بدانیم که سیستم تا زمانی مشخص سالم بوده، بررسی زمان خراب شدن آن در آینده منجر به تعریف طول عمر باقیمانده آن سیستم می شود. بررسی طول عمر باقیمانده سیستم ها در زمان های متفاوت کاربرد های فراوانی دارد. به عنوان مثال می توان از آنها برای پیدا نمودن کران هایی برای توابع توزیع طول عمر سیستم های پیچیده بهره برد و یا به حل مسائل بهینه سازی در تخصیص مولفه های یک سیستم پرداخت. یک مفهوم دیگر که به عمر باقیمانده سیستم نزدیک می باشد، عمر گذشته یک سیستم است که زمان سپری شده از زمان خرابی سیستم را اندازه گیری می کند. پس از خرابی سیستم معمولا سیستم را خاموش کرده و زمان سپری شده از خرابی مولفه های خراب شده را مطالعه می کنیم و یا مولفه های سالم را برای استفاده احتمالی در سیستم های دیگر مورد استفاده قرار می دهیم. بررسی طول عمر سیستم با استفاده از مفهوم نرخ مخاطره و یا خرابی سیستم ها در بسیاری از تحقیقات، مشهود است. سیستمی با مولفه های وابسته که بتوان وابستگی آن ها را با استفاده یکی از مفصل های ارشمیدسی که زیر کلاسی از مفصل ها می باشند، مدل بندی کرد را در نظر گیرید. در این رساله طول عمر باقیمانده این نوع سیستم ها را با استفاده از مفهوم نرخ مخاطره چند متغیره مورد بررسی قرار خواهیم داد. یکی از مدل بندی هایی که در نظریه قابلیت اعتماد مورد توجه قرار دارد و کاربردهای فراوانی در صنعت و پزشکی و ... دارد، سیستم (n-k+1) از n می باشد. این سیستم متشکل از n مولفه بوده و فقط زمانی کار می کند که حداقل k جز آن سالم باشند. به عنوان مثالی از این سیستم می توان یک هواپیمای چهار موتوره که قابلیت پرواز با حداکثر دو موتور معیوب دارد، را در نظر گرفت. در ادبیات تحقیق بررسی این نوع سیستم ها تحت فرض استقلال بین مولفه ها انجام شده است. رساله پیش رو، طول عمر باقیمانده و گذشته این سیستم را با استفاده از مفصل های ارشمیدسی مورد بررسی قرار می دهد. بدیهی است مدل بندی های به دست آمده نسبت به نتایج ارائه شده قبلی، کارایی بیشتری خواهند داشت. در ادبیات تحقیق، افزایش و یا کاهش طول عمر باقیمانده و یا گذشته سیستم-های (n-k+1) از n نسبت به افزایش و یا کاهش تعداد مولفه ها و k و نیز پارامترهای مربوط به مولفه ها مورد بررسی قرار گرفته است. تعمیم برخی از این نتایج به سیستم هایی با مولفه های وابسته در این رساله انجام خواهد پذیرفت. مدل بندی داده های چند متغیره با مولفه های وابسته که در آن ها سانسور به صورت تصادفی رخ داده است در موارد بسیاری کاربرد دارد. به عنوان مثال ممکن است در بررسی طول عمر لاستیک ها جواب دو آزمایش که به یکدیگر وابسته باشند، مدنظر باشد که در برخی مواقع جواب آزمایش ها موجود نباشد. بررسی این نوع مدل ها در حالت دو متغیره در ادبیات تحقیق موجود است. تعمیم این مدل بندی در حالت چندمتغیره را در رسال حاضر درنظرخواهیم گرفت. یکی ازکاربردهای رایج مفصل ها در بررسی پدیده خشکسالی می باشد. شاخص ها و روش های بسیاری جهت بررسی پدیده خشکسالی با استفاده از اطلاعات موجود در نواحی مورد مطالعه از جمله میزان بارندگی، رطوبت خاک ، دما و غیره در ادبیات تحقیق موجود می باشد. از آنجا که مفصل ها به دلیل خواص بسیار مفید آن ها در مدل بندی داده های وابسته بسیار مثمر ثمر می باشند، تحقیق پیش رو سعی بر آن دارد که با ترمیم شاخص های موجود در تجزیه و تحلیل خشکسالی، نتایج بهتر و قابل اعتماد تری جهت تبیین پدیده خشکسالی و دوره بازگشت آن ارائه نماید. به عنوان یک مثال عملی از کاربرد مفصل ها در علوم مختلف بخشی از این پایان نامه به تجزیه و تحلیل پدیده خشکسالی در شهر اصفهان با استفاده از داده های بارش و بیشینه دما ثبت شده در این شهر طی سال های 1340 تا 1384 پرداخته است.